Sumário

1 Objetivo

Descrever métodos para aproximação de distribuições e geradores de números:

2 Apresentação do relatório

2.1 Gerar amostras aleatória de uma população

A seguir será mostrado como gerar, aleatóriamente, amostras de uma população. Mas em primeiro lugar é importante trazermos algumas definições.

2.1.1 População

É o conjunto de elemntos para os quais desejamos que as conclusões de uma pesquisa sejam válidas, com restrição de que esses elementos possam ser observados sob as mesmas condições. A população pode ser finita ou infinita. Ela será finita quando seus elementos podem ser enumerados. Já para a população infinita ocorre o contrário, seus elementos não podem ser enumerados.

2.1.2 Amostra

São pequenos grupos escolhidos da população, afim de representarem as caracteristicas da população. Amostragem é o ato de analisar uma parte do evento observado com o intuito de saber como a população se comporta, sem necessariamente analisar a população como um todo.

No R Utilizamos diversos comandos para gerar tais amostras aleatóriamente:

  rnorm()
  rexp()
  rgamma()
  rgumbel()
  rweibell()
  rSMR()


# Gerando numeros aleatorios de uma distribuicao exponencial

rexponencial <- function(n, lambda) {
  if (!is.numeric(lambda) | lambda < 0) 
    stop("O argumento lambda deve ser numérico e maior que 0!", call. = FALSE)
  nunif <- runif(n)
  x <- (-log(1 - nunif)) / lambda
  return(x)
}


# Verificando graficamente
plot(sort(rexponencial(1000, lambda = 1)))
points(sort(rexp(1000, rate = 1)), col = "red")

2.2 Quadratura Gaussina

2.2.1 Introdução

\(\int_{a}^{b}g(x) dx= \int_{a}^{b}w(x)f(x) dx ~ \sum_{k=1}^{s}wk f(xk)\)

Devemos seguir dessa forma:

  • Determinar o número de pontos s que se deve tomar para resolver a integral, segundo o polinômio ps(x);
  • Determinar os nós (xk) e os pesos (wk) da quadratura, usando função:
SMR:::GaussLegendre(s)
  • Determinar g(xk) = f(xk), isto é, a função de interesse aplicada nos nós (xk);
  • Calcular a integral;

2.2.2 Transformação dos limites de integração

Método utilizado para obtermos um intervalo de integração finito. Para isso utilizamos:

\(\int_{c}^{d}f(g(t))|g'(t)| dt\)

Temos a seguinte função:

\(\int_{0}^{3}x^2 dx\)

A transformação será feita assim:

\(\int_{0}^{3}x^2 dx = \frac{3-0}{2}\int_{-1}^{1}(\frac{3-0}{2}xk + \frac{3+0}{2})^2 dxk =\)
\(\frac{3}{2} \int_{-1}^{1}(\frac{3xk}{2} + \frac{3}{2}) xk\)

No R :


>(x <- SMR:::GaussLegendre(2))
$nodes
[1] -0.5773503 0.5773503
$weights
[1] 1 1
> fx3 <- function(x) (1.5 * x + 1.5)^2 # para x^3 [0, 2]
> # Para fx3 temos
> 1.5 * sum(x$weights * fx3(x$nodes))
[1] 9

2.3 Método de Newton-Raphson

O objetivo desse método é encontrar aproximações para as raízes de uma função real:

\(x:f(x)=0\)

A fórmula para a convergência pode ser facilmente encontrada, pois a derivada da função f no ponto xk é igual a tangente do ângulo α entre a reta tangente e a curva no ponto xk.

\(f'(x) = tan(α) = \frac{∆y}{∆x}\) \(=\frac{f(xk)-0}{xk-xk+1}\)

Começando o processo com um valor arbitrário inicial x0, em que quanto mais perto esse ponto for da raiz da função, mais rápido será a convergência da iteração, considerando f’(x0) diferente de zero.