Espaço Amostral

• É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Em outras palavras, é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento.Como por exemplo:

Dado experimento “lançamento de um dado” o espaço amostral será: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

• Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência.Há dois tipos:

  • Distribuições Contínuas
  • Distribuições Discretas

• A probabilidade de que a variável X assuma um valor específico x é dada por: P(X = x ) = P( x )

• No caso de variáveis contínuas, as probabilidades são especificadas em termos de intervalos, pois a probabilidade associada a um número específico é zero (não enumerável).

Distribuição de Bernoulli

• Este modelo probabilístico é caracterizado da seguinte forma:

x=1 sucesso, P(x=1) = “p” (sucesso)

x=0 fracasso, P(x=0) = 1 - p (fracasso)

\(P(X=x) = p^x*(1-p)^(1-x)\)

Distribuição de Bernoulli

  # Valores
  n <- 10000; x <- 0:n; p <- 0.459394
  # Probabilidade
  px <- dbinom (x, size = n, prob = p)
  # Gráfico
  plot (x, px, type = "h", xlab = "X", ylab = expression("P(X = x)"),
  planel.first = grid(col="gray"), ylim = c(0, 0.008), xlim = c(4400, 
  4800), (lwd = 3)

Distribuição Binomial

• Características:
  • Uma distribuição binomial fica caracterizada pelos parâmetros n e p.
  • Para qualquer n, a distribuição será simétrica, se p = q = 0, 5, será assimétrica à direita, se p > q, e assimétrica à esquerda, se p < q.
  • Para um determinado valor p, à medida que n a distribuição Binomial se torna cada vez mais simétrica.

Distribuição Binomial

# Consideramos a alteracao do valor do parametro p
# Grafico da distribuicao binomial para n = 30 e p = 0.5
x <- 0:30; n <- 30; p <- 0.5
 px <- dbinom(x, size = n, prob = p)
 plot(x, px, type = "h", xlab = "X", ylab = expression("P(X=x)"), 
 panel.first
= grid(col="gray"), ylim = c(0, 0.5), lwd = 2)

# n = 30 e p = 0.3
x <- 0:30; n <- 30; p <- 0.3
 px <- dbinom(x, size = n, prob = p)
 lines(x, px, col = "red", type = "h", lwd = 2)

# n = 10 e p = 0.5
x <- 0:100; n <- 10; p <- 0.5
 px <- dbinom(x, size = n, prob = p)
 lines(x, px, col = "green", type = "h", lwd = 2)
 

Distribuição Binomial

\(E[X] = np\) (Esperança);

\(σ ^ 2x = np(1 − p)\) (Variância);

\(σx =(np(1 − p)) ^1/^2\) (Desvio Padrão);

Distribuição Poisson

Uma variável aleatória X discreta, tem distribuição Poisson , se sua função de probabilidade é dada por

\(P(X = x) = (e^(−λ) *λ^x)/x!\), para x = 0, 1, 2,…,

pode ser igual a 0,caso contrário, em que λ > 0. Em notação, X ∼ Poisson(λ) representa que X tem distribuição Poisson com parâmetro λ.

Distribuição Poisson

# Grafico da distribuicao poisson para lambda=5
 x <- 0:10; lambda = 1
 px <- dpois(x, lambda = lambda)
 plot(x, px, type = "h", xlab = "X", ylab = expression("P(X=x)"), panel.first
= grid(col="gray"), ylim = c(0, 0.2), xlim = c(0, 10), lwd = 2)
# n = 10 e lambda = 4
 x <- 0:10; lambda = 4
 px <- dpois(x, lambda = lambda)
 lines(x+0.2, px, col = "red", type = "h", lwd = 2)
# n = 10 e lambda = 10
 x <- 0:10; lambda = 10
 px <- dpois(x, lambda = lambda)
 lines(x+0.4, px, col = "green", type = "h", lwd = 2)
 

Distribuição Poisson

\(µx = E[X] = λ\) (Esperança);

\(σ^2x = Var[X] = λ\) (Variância);

\(σx =√λ\) (Desvio Padrão);

Distribuição Normal

• A distribuição Normal é em forma de sino, unimodal, simétrica em relação à sua média e tende cada vez mais ao eixo horizontal à medida que se afasta da média.

• A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área compreendida entre esses dois pontos.

• Caracterizada por duas variáveis: média e desvio padrão.

  \(fx(x)=(1/√2πσ^2)*e^−1/2((x−μ)/σ)^2\)

Distribuição Normal

Distribuição Normal

No R:

dnorm (): densidade de probabilidade de f(x) no ponto;

pnorm (): probabilidade acumulada;

qnorm (): quantil;

rnorm (): amostra aleatória.